题型： 解答题 难度： 一般
    已知f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）（x≠0）．
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）证明f（x）＞0．
    答案
    （1）f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，下面只要化简f（-x）．
    f（-x）=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x（

2x

1-2x

+

1

2

）
    =-x（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）
    =x（

1

2x-1

+

1

2

）=f（x），
    故f（x）是偶函数．
    （2）证明：当x＞0时，2x＞1，2x-1＞0，
    所以f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
    当x＜0时，因为f（x）是偶函数
    所以f（x）=f（-x）＞0．
    综上所述，均有f（x）＞0．