# 函数最值的概念引入

在数学学习中，函数最值是一个极为重要的概念，它贯穿于代数、几何等多个领域，对于理解函数的性质和解决各类数学问题都有着关键作用。

函数最值与函数的变化趋势紧密相连。当我们研究一个函数时，会发现它在定义域内的取值会随着自变量的变化而变化。有的函数值会不断增大，有的则不断减小，而函数最值就是这些变化中的特殊情况。

我们先来看一些简单的函数示例。比如一次函数$y = 2x + 1$，它的图象是一条直线。当$x$在实数范围内取值时，$y$的值会随着$x$的增大而不断增大，不存在最大值和最小值。

再看二次函数$y = x^2 - 2x + 3$，通过配方可化为$y=(x - 1)^2 + 2$。它的图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x = 1$。当$x = 1$时，$y$取得最小值$2$。这就直观地展示了函数最值的存在情况。

函数最值的定义是：设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：对于任意的$x\in I$，都有$f(x)\leq M$，那么称$M$是函数$y = f(x)$的最大值；如果存在实数$m$满足：对于任意的$x\in I$，都有$f(x)\geq m$，那么称$m$是函数$y = f(x)$的最小值。

函数最值具有一些特征。最值是函数在定义域内的特定取值，它可能在函数的极值点处取得，也可能在定义域的端点处取得。而且一个函数的最大值或最小值是唯一的（在定义域内）。

在实际生活中，函数最值有着广泛的应用。比如在销售利润问题中，某商家销售某种商品，设售价为$x$元，成本为$C$元，销售量为$q$件，利润$L = (x - C)q$。通过分析市场情况，确定销售量$q$与售价$x$的函数关系，就可以求出利润的最大值，从而帮助商家制定最优的销售策略以获取最大利润。这让我们初步感受到函数最值在实际生活中的应用场景，也体现了函数最值概念的重要性和实用性。

# 函数最值的求解方法
函数最值的求解方法多种多样，其中图象法和单调性法是较为常用且有效的方法。

## 图象法
图象法是通过画出函数图象来直观地找出函数的最值点及最值。对于一些函数，其图象能够清晰地展示函数的变化趋势，从而帮助我们确定最值。

例如，对于二次函数\(y = 2x^2 - 4x + 3\)，我们可以通过配方将其化为顶点式\(y = 2(x - 1)^2 + 1\)。由此可知，该函数的图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为\(x = 1\)，顶点坐标为\((1,1)\)。通过画出图象，我们可以清晰地看到，当\(x = 1\)时，函数取得最小值\(y = 1\)，在整个定义域内没有最大值。

在画函数图象时，我们需要注意函数的定义域、值域以及特殊点（如与坐标轴的交点）等信息，这些都有助于准确地描绘出函数图象，进而确定最值。

## 单调性法
单调性法是通过分析函数在不同区间的单调性来确定最值。如果函数在某个区间上单调递增，那么在该区间的右端点处可能取得最大值；如果函数在某个区间上单调递减，那么在该区间的左端点处可能取得最大值。

例如，对于函数\(y = x^3 - 3x\)，我们先对其求导，得到\(y^\prime = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。

令\(y^\prime = 0\)，解得\(x = -1\)或\(x = 1\)。

当\(x \lt -1\)时，\(y^\prime \gt 0\)，函数单调递增；当\(-1 \lt x \lt 1\)时，\(y^\prime \lt 0\)，函数单调递减；当\(x \gt 1\)时，\(y^\prime \gt 0\)，函数单调递增。

由此可知，函数在\(x = -1\)处取得极大值\(y = (-1)^3 - 3\times(-1) = 2\)，在\(x = 1\)处取得极小值\(y = 1^3 - 3\times1 = -2\)。

再结合函数的定义域和单调性，我们可以确定函数在整个定义域内的最值情况。

## 求解演示
下面我们结合具体的函数题目，运用这两种方法进行求解演示。

已知函数\(y = -x^2 + 4x - 3\)，求其在区间\([0, 3]\)上的最值。

### 图象法
首先，将函数化为顶点式\(y = -(x - 2)^2 + 1\)。

画出函数图象，可知该函数图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为\(x = 2\)，顶点坐标为\((2,1)\)。

在区间\([0, 3]\)内，当\(x = 2\)时，函数取得最大值\(y = 1\)；当\(x = 0\)或\(x = 3\)时，\(y = -3\)，所以函数的最小值为\(-3\)。

### 单调性法
对函数\(y = -x^2 + 4x - 3\)求导，得到\(y^\prime = -2x + 4\)。

令\(y^\prime = 0\)，解得\(x = 2\)。

当\(x \in [0, 2)\)时，\(y^\prime \gt 0\)，函数单调递增；当\(x \in (2, 3]\)时，\(y^\prime \lt 0\)，函数单调递减。

所以，函数在\(x = 2\)处取得最大值\(y = 1\)。

当\(x = 0\)时，\(y = -3\)；当\(x = 3\)时，\(y = -3^2 + 4\times3 - 3 = 0\)。

比较可得，函数的最小值为\(-3\)。

通过以上两种方法的演示，我们可以看到，图象法直观形象，单调性法严谨准确。在实际求解函数最值时，我们可以根据函数的特点选择合适的方法，以达到快速准确求解的目的。同学们要熟练掌握这两种方法，多做练习，提高运用函数最值解决问题的能力。

# 函数最值的实际应用
函数最值在实际生活中有着广泛的应用，下面通过几个案例来详细说明。

## 案例一：成本最小化问题
某工厂生产某种产品，每日的固定成本为$2000$元，每生产一件产品，成本增加$50$元。已知该产品的日产量$x$与产品单价$p$之间的关系为$p = 100 - \frac{x}{10}$。问每日生产多少件产品时，可使平均成本最低？

首先建立函数模型。设每日生产$x$件产品时，平均成本为$y$元。总成本为固定成本加上可变成本，即$C = 2000 + 50x$。平均成本$y = \frac{C}{x} = \frac{2000 + 50x}{x} = \frac{2000}{x} + 50$。

又因为收入$R = px = (100 - \frac{x}{10})x = 100x - \frac{x^2}{10}$。

利润$L = R - C = 100x - \frac{x^2}{10} - (2000 + 50x) = -\frac{x^2}{10} + 50x - 2000$。

要求平均成本最低，对$y = \frac{2}{x} + 50$求导，$y^\prime = -\frac{2000}{x^2}$。令$y^\prime = 0$，此方程无解，说明$y$在定义域内单调递减。但考虑实际情况，$x$不能无限大，且$p = 100 - \frac{x}{10} \geq 0$，解得$x \leq 1000$。所以当$x = 1000$时，平均成本最低。

## 案例二：面积最大化问题
用长为$12m$的篱笆围成一个矩形养鸡场，问矩形的长和宽各为多少时，养鸡场的面积最大？

设矩形养鸡场的长为$x m$，宽为$y m$。则$2(x + y) = 12$，即$y = 6 - x$。

面积$S = xy = x(6 - x) = -x^2 + 6x$。

这是一个二次函数，对于二次函数$y = -x^2 + 6x$，其图象开口向下，对称轴为$x = -\frac{6}{2\times(-1)} = 3$。

所以当$x = 3$时，面积$S$取得最大值，此时$y = 6 - 3 = 3$。

通过这些案例可以看出，在实际问题中，首先要准确分析题目中的数量关系，建立函数模型，然后根据函数的性质来求解最值。这需要我们仔细观察、深入思考，才能将实际问题转化为数学问题并加以解决，从而培养运用数学知识解决实际问题的能力。