题型： 解答题 难度： 一般
设双曲线C：
-
=1的右焦点为F2，过点F2的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为
，且
=2
；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F1为双曲线C的左焦点，且F1到l的距离为?
，求双曲线C的方程．
答案
作双曲线的右准线L：x=
，
分别作AA1⊥L，BB1⊥L，垂足分别为A1、B1，作BH⊥AA1，交AA1于H，
根据双曲线第二定义，
=
=e，（e是离心率），
∵
=2
，
∴|AA1|=2|BB1|=2|A1H|，
∴H为线段AA1的中点，故|A1H|=|AH|，
设|BB1|=m，则|AH|=m，|AA1|=2m①
∵直线AB的斜率为
，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=
，即
=
，
∴|BH|=
|AH|=
m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF2|=4m，②
由①②得：e=
=
=2；
（2）∵直线方程l为：y=
（x-c），即
x-y-
c=0，
左焦点F1至AB距离d=
=
=
，
又F1到l的距离为?
，
∴
=
，
∴c=2，又e=
=2，
∴a=1，b=
，
∴双曲线方程为：x2-
=1．
Q:双曲线 C 的离心率是如何定义的？
A:对于双曲线 C：x²/a² - y²/b² = 1，离心率 e = c/a，其中 c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实半轴长。
Q:在本题中，如何根据已知条件得到|AF₂|与|AA₁|的关系？
A:因为 AF₂ = 2F₂B，根据双曲线第二定义|AF₂|/|AA₁| = |BF₂|/|BB₁| = e，且|AA₁| = 2|BB₁| = 2|A₁H|，H 为线段 AA₁ 中点，所以|AF₂| = 2|F₂B|，进而得到|AF₂|/|AA₁|的关系。
Q:直线 l 的斜率在解题中有什么作用？
A:直线 l 的斜率为 3/5，通过它可以得出|BH|与|AH|的关系，即|BH|/|AH| = 3/5。
Q:直角三角形 BHA 中，|AB|是如何计算出来的？
A:已知|AH| = m，|BH| = 3/5|AH| = 3/5m，根据勾股定理可得|AB| = √(|AH|² + |BH|²) = 6m。
Q:求离心率 e 的过程中，用到了哪些关键步骤？
A:利用 AF₂ = 2F₂B 得出|AA₁|与|BB₁|的关系，进而得到|AF₂|与|AA₁|的关系，从而计算出离心率 e = |AF₂|/|AA₁|。
Q:双曲线 C 的方程是如何得出的？
A:先求出离心率 e 和 c 的值，再根据 e = c/a 和 c² = a² + b²，以及已知的 a、b、c 关系求出 a、b 的值，进而得到双曲线方程。
Q:直线 l 的方程是怎么确定的？
A:已知直线 l 过右焦点 F₂，斜率为 3/5，设右焦点坐标为(c,0)，可得直线方程为 y = 3/5(x - c)，即 3/5x - y - 3/5c = 0。
Q:左焦点 F₁ 至 AB 的距离公式是什么？
A:左焦点 F₁ 至 AB 的距离 d = |-3/5c - 0 - 3/5c|/√((3/5)² + 1) = 2√35c/6 = √35c/3。
Q:已知 F₁ 到 l 的距离为√235/3，如何求出 c 的值？
A:因为左焦点 F₁ 至 AB 的距离 d = √35c/3，又已知 F₁ 到 l 的距离为√235/3，所以√35c/3 = √235/3，从而解得 c = 2。
Q:当 e = c/a = 2，c = 2 时，a 的值是多少？
A:由 e = c/a = 2，c = 2，可得 a = c/2 = 1。
