2025届四川绵阳南山中学高三上学期9月月考数学试题整理解析
对于四川绵阳地区的高三学生来说，南山中学的模考题一直是备考路上很有参考价值的资料。这次2025届高三上学期9月月考的数学题，我整理完题目之后，也挑了几道考生错得比较多的题目给大家拆解分析，帮刚进入高三的同学摸清楚复习方向。
刚进入高三第一次正式月考，出题老师其实并没有刻意为难大家，整张卷子的考点分布和高考全国卷保持一致，选择填空前10题，还有解答题前3题，都是基础题，主要考察高中三年的核心基础知识点，帮大家找找高三备考的手感。只有选择最后两题、填空最后一题，还有解答题的导数、圆锥曲线第二问，是用来区分层次的难题，整体难度比高考稍微高一点点，适合刚进入高三的学生摸底。
我先拿大家错得最多的选择第11题来说，这道题考的是椭圆的性质，题目给了一个焦点在x轴上的椭圆，右焦点是F，过F作一条斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，已知|OA|²+|OB|² < |AB|²，求椭圆离心率的范围。很多同学拿到题第一反应就是联立方程硬算，算到一半就算不下去，时间也浪费了。
其实这道题有个很巧的切入点，题目里给的|OA|²+|OB|² < |AB|²，这不就是余弦定理的形式吗？三角形AOB里，AB对的角就是∠AOB，所以余弦定理推出来就能直接得到cos∠AOB < 0，也就是说∠AOB是钝角，OA向量点乘OB向量小于0。这样就把题目条件转化成了我们熟悉的韦达定理问题，接下来只要联立直线和椭圆方程，把x1x2和y1y2用a、b、c表示出来，代入点乘小于0的条件，就能推出a²>2c²，离心率e小于二分之根号二，再结合椭圆离心率本来就在0到1之间，所以最后结果就是(0,√2/2)，是不是比硬算简单太多？很多同学就是没想到把不等式转化成向量点乘，才卡了半天。
再来看填空的最后一题，这道题考的是立体几何里的动点轨迹和体积最值。题目说正方体边长是2，M是正方体内切球上的动点，N是正方形B1BCC1外接圆上的动点，求线段MN长度的范围，还有三棱锥D-MAN体积的最大值。很多同学刚拿到题就懵了，两个动点，不知道怎么下手。
其实你先把两个点的位置理清楚就好办了，正方体边长是2，内切球的球心就是正方体中心O，半径r=1。正方形B1BCC1的外接圆，其实就是正方体棱的中点那个圆，这个圆刚好也在这个内切球上面，圆心就是正方形B1BCC1的中心，半径是√2。所以M和N都在半径为1的球面上，N又在这个小圆上，那MN最短距离就是两个圆心之间的距离减去两个半径，最长就是加上半径，算出来MN范围就是1 - √2/2 到 1 + √2/2。
接下来体积最值其实更简单，三棱锥体积是三分之一底面积乘高，三角形DAN的面积是固定的，只要M到平面ADN的距离最大就行，平面ADN刚好过球心O，所以M到平面的最大距离就是内切球的半径1，最后算出来最大体积就是三分之二倍根号三。这道题看起来两个动点很吓人，其实只要把基本位置理清楚，按部就班算就能出来。
然后就是大家吐槽最多的导数解答题，第21题，第一问讨论函数f(x)=lnx - ax的单调性，这个比较基础，大部分同学都能做对。导数算出来是f’(x)=(1 - ax)/x，定义域x>0，所以a≤0的时候f’(x)恒正，函数在(0,+∞)单调递增；a>0的时候，x在(0,1/a)单调增，(1/a,+∞)单调减，这一步没什么好说的，只要记得分类讨论就不会错。
第二问是说，f(x)有两个零点x1，x2，且x1 < x2，证明：x1x2 > e²。这个是很经典的极值点偏移问题，但是很多同学刚复习到导数，还没练过这类题型，就卡壳了。其实方法也不复杂，首先第一问我们已经知道，只有a>0的时候函数才有两个零点，而且0e²，两边取对数就是要证lnx1 + lnx2 >2。因为x1和x2都是零点，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，加起来就是a(x1 + x2) >2，也就是证x1+x2>2/a，这不就是典型的极值点偏移嘛，直接用对称构造就可以做。
构造函数g(x)=f(x) - f(2/a -x)，x在(0,1/a)，求导之后能得到g’(x)恒大于0，所以g(x)2/a -x1，移项就是x1+x2>2/a，再推回去就是lnx1 + lnx2 =a(x1+x2)>2，所以x1x2>e²，就证完了。当然，要是你用对数平均不等式做更快，不过这个方法对基础一般的同学来说不好理解，还是构造法更通用。
这次月考其实也能给刚进入高三的同学提个醒，很多人刚上高三，觉得我只要把难题刷完就行，基础不用管，这次考完就发现，很多人基础题错一堆，比如选择题第三题考复数运算，还有第五题考二项式定理，都是送分题，还是有不少同学算错。高三复习第一步，一定是先把基础知识点吃透，不要一来就钻难题，基础分拿满，分数才不会低。
另外，这次题目也能看出来，现在高考越来越考察灵活转化的能力，不是说你死背公式就能做对，像刚才那道椭圆题，把不等式转化成向量点乘，一下子就简单了，要是想不到这个转化，硬算半天也算不对。平时做题的时候，别做完就扔，多想想这道题给的条件能转化成我们学过的什么知识点，练多了自然就有思路了。
刚进入高三，一次月考的分数其实说明不了什么，主要是帮你找到自己哪里没复习好，哪里还有漏洞。把这次月考错的题目整理出来，把对应的知识点再补一遍，比你纠结分数有用多了。希望这次解析能帮大家把错的题目理清楚，接下来的复习也能更有方向。
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[Q]：2025届绵阳南山中学高三9月月考数学整体难度怎么样？
[A]：整体难度比高考稍高，大部分基础题考察核心知识点，仅少数题目用来区分层次，适合刚进入高三的学生摸底测试。
[Q]：这次月考数学的考点分布和高考一致吗？
[A]：考点分布和高考全国卷保持一致，基础题占比高，难题集中在选择最后两题、填空最后一题以及解答题的导数、圆锥曲线第二问，符合高考出题规律。
[Q]：选择第11题椭圆题的解题切入点是什么？
[A]：利用题目给的|OA|²+|OB|² < |AB|²结合余弦定理，推出∠AOB是钝角，转化为OA向量点乘OB向量小于0，再结合韦达定理求解即可，不需要复杂硬算。
[Q]：填空最后一题双动点问题怎么入手？
[A]：先确定两个动点的位置，M在正方体内切球上，N在正方形外接圆上，二者都在同一个球面上，先算线段范围，再利用体积公式找距离最值就能解出答案。
[Q]：导数题x1x2>e²的证明是什么题型？
[A]：这是典型的极值点偏移问题，可以通过构造对称函数的方法证明，也可以用对数平均不等式快速求解。
[Q]：这次月考给刚进入高三的学生什么复习提示？
[A]：首先要重视基础，不要一味钻研难题，这次考试很多考生基础题失误丢分，先把基础分拿稳才是提分关键。
[Q]：做数学题遇到新题型没思路怎么办？
[A]：学会转化题目条件，把陌生条件转化成已经学过的知识点，平时做题多积累转化思路，不要做完题就跳过，多总结思考。
[Q]：高三第一次月考成绩不好需要担心吗？
[A]：不需要，第一次月考主要是帮考生摸底找漏洞，把错题整理清楚，补好对应知识点，比纠结分数更有意义。
刚进入高三第一次正式月考，出题老师其实并没有刻意为难大家，整张卷子的考点分布和高考全国卷保持一致，选择填空前10题，还有解答题前3题，都是基础题，主要考察高中三年的核心基础知识点，帮大家找找高三备考的手感。只有选择最后两题、填空最后一题，还有解答题的导数、圆锥曲线第二问，是用来区分层次的难题，整体难度比高考稍微高一点点，适合刚进入高三的学生摸底。
我先拿大家错得最多的选择第11题来说，这道题考的是椭圆的性质，题目给了一个焦点在x轴上的椭圆，右焦点是F，过F作一条斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，已知|OA|²+|OB|² < |AB|²，求椭圆离心率的范围。很多同学拿到题第一反应就是联立方程硬算，算到一半就算不下去，时间也浪费了。
其实这道题有个很巧的切入点，题目里给的|OA|²+|OB|² < |AB|²，这不就是余弦定理的形式吗？三角形AOB里，AB对的角就是∠AOB，所以余弦定理推出来就能直接得到cos∠AOB < 0，也就是说∠AOB是钝角，OA向量点乘OB向量小于0。这样就把题目条件转化成了我们熟悉的韦达定理问题，接下来只要联立直线和椭圆方程，把x1x2和y1y2用a、b、c表示出来，代入点乘小于0的条件，就能推出a²>2c²，离心率e小于二分之根号二，再结合椭圆离心率本来就在0到1之间，所以最后结果就是(0,√2/2)，是不是比硬算简单太多？很多同学就是没想到把不等式转化成向量点乘，才卡了半天。
再来看填空的最后一题，这道题考的是立体几何里的动点轨迹和体积最值。题目说正方体边长是2，M是正方体内切球上的动点，N是正方形B1BCC1外接圆上的动点，求线段MN长度的范围，还有三棱锥D-MAN体积的最大值。很多同学刚拿到题就懵了，两个动点，不知道怎么下手。
其实你先把两个点的位置理清楚就好办了，正方体边长是2，内切球的球心就是正方体中心O，半径r=1。正方形B1BCC1的外接圆，其实就是正方体棱的中点那个圆，这个圆刚好也在这个内切球上面，圆心就是正方形B1BCC1的中心，半径是√2。所以M和N都在半径为1的球面上，N又在这个小圆上，那MN最短距离就是两个圆心之间的距离减去两个半径，最长就是加上半径，算出来MN范围就是1 - √2/2 到 1 + √2/2。
接下来体积最值其实更简单，三棱锥体积是三分之一底面积乘高，三角形DAN的面积是固定的，只要M到平面ADN的距离最大就行，平面ADN刚好过球心O，所以M到平面的最大距离就是内切球的半径1，最后算出来最大体积就是三分之二倍根号三。这道题看起来两个动点很吓人，其实只要把基本位置理清楚，按部就班算就能出来。
然后就是大家吐槽最多的导数解答题，第21题，第一问讨论函数f(x)=lnx - ax的单调性，这个比较基础，大部分同学都能做对。导数算出来是f’(x)=(1 - ax)/x，定义域x>0，所以a≤0的时候f’(x)恒正，函数在(0,+∞)单调递增；a>0的时候，x在(0,1/a)单调增，(1/a,+∞)单调减，这一步没什么好说的，只要记得分类讨论就不会错。
第二问是说，f(x)有两个零点x1，x2，且x1 < x2，证明：x1x2 > e²。这个是很经典的极值点偏移问题，但是很多同学刚复习到导数，还没练过这类题型，就卡壳了。其实方法也不复杂，首先第一问我们已经知道，只有a>0的时候函数才有两个零点，而且0
构造函数g(x)=f(x) - f(2/a -x)，x在(0,1/a)，求导之后能得到g’(x)恒大于0，所以g(x)
这次月考其实也能给刚进入高三的同学提个醒，很多人刚上高三，觉得我只要把难题刷完就行，基础不用管，这次考完就发现，很多人基础题错一堆，比如选择题第三题考复数运算，还有第五题考二项式定理，都是送分题，还是有不少同学算错。高三复习第一步，一定是先把基础知识点吃透，不要一来就钻难题，基础分拿满，分数才不会低。
另外，这次题目也能看出来，现在高考越来越考察灵活转化的能力，不是说你死背公式就能做对，像刚才那道椭圆题，把不等式转化成向量点乘，一下子就简单了，要是想不到这个转化，硬算半天也算不对。平时做题的时候，别做完就扔，多想想这道题给的条件能转化成我们学过的什么知识点，练多了自然就有思路了。
刚进入高三，一次月考的分数其实说明不了什么，主要是帮你找到自己哪里没复习好，哪里还有漏洞。把这次月考错的题目整理出来，把对应的知识点再补一遍，比你纠结分数有用多了。希望这次解析能帮大家把错的题目理清楚，接下来的复习也能更有方向。
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[Q]：2025届绵阳南山中学高三9月月考数学整体难度怎么样？
[A]：整体难度比高考稍高，大部分基础题考察核心知识点，仅少数题目用来区分层次，适合刚进入高三的学生摸底测试。
[Q]：这次月考数学的考点分布和高考一致吗？
[A]：考点分布和高考全国卷保持一致，基础题占比高，难题集中在选择最后两题、填空最后一题以及解答题的导数、圆锥曲线第二问，符合高考出题规律。
[Q]：选择第11题椭圆题的解题切入点是什么？
[A]：利用题目给的|OA|²+|OB|² < |AB|²结合余弦定理，推出∠AOB是钝角，转化为OA向量点乘OB向量小于0，再结合韦达定理求解即可，不需要复杂硬算。
[Q]：填空最后一题双动点问题怎么入手？
[A]：先确定两个动点的位置，M在正方体内切球上，N在正方形外接圆上，二者都在同一个球面上，先算线段范围，再利用体积公式找距离最值就能解出答案。
[Q]：导数题x1x2>e²的证明是什么题型？
[A]：这是典型的极值点偏移问题，可以通过构造对称函数的方法证明，也可以用对数平均不等式快速求解。
[Q]：这次月考给刚进入高三的学生什么复习提示？
[A]：首先要重视基础，不要一味钻研难题，这次考试很多考生基础题失误丢分，先把基础分拿稳才是提分关键。
[Q]：做数学题遇到新题型没思路怎么办？
[A]：学会转化题目条件，把陌生条件转化成已经学过的知识点，平时做题多积累转化思路，不要做完题就跳过，多总结思考。
[Q]：高三第一次月考成绩不好需要担心吗？
[A]：不需要，第一次月考主要是帮考生摸底找漏洞，把错题整理清楚，补好对应知识点，比纠结分数更有意义。
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